「助動詞」とは、動詞の表現を広げるために用いる単語です。
「～することができる」「～してもよい」「～しなければいけない」など、さまざまな表現ができます。

1) can（～できる）

I can swim.
（私は泳ぐことができます）

助動詞を使う場合、動詞は原形に戻ります。

She can drive.
（彼女は運転できます）

否定文にする場合は、「can’t」「cannot」を使います。

I can’t swim.
（私は泳げません）

「can’t」「cannot」の違いはありませんが、「cannot」の方が聞き取る時分かりやすいので、「できない」事を強調する時に使われることが多いようです。

疑問文にするには、助動詞を文頭に持ってきます。

Can you play the guitar?
（あなたはギターが弾けますか？）

なお、「can」の過去形は「could」です。

I could play the piano very well before.
（私は昔、ピアノをとても上手に弾けた）

「could」の否定形は「couldn’t」「could not」です。

She couldn’t swim whe she was 10.
（彼女は10歳の時、泳げなかった）

2) may（～してもよい）

May I ask you something?
（ちょっと質問してもよろしいですか？）

3) must（～しなければならない、～に違いない）

She must work here.
（彼女はここで働かなければならない）

一般動詞に使う場合は「～しなければならない」という意味ですが、
be動詞と一緒に使うと「～に違いない」という意味に変わります。

It must be wrong.
（間違いに決まっている）

否定形は「mustn’t」「must not」です。

You mustn’t come here.
（あなたはここに来てはならない）

4) should（～すべきだ）

You should call her right now.
（あなたは彼女に今すぐ電話すべきだ）

否定形は「shouldn’t」「should not」です。

You shouldn’t go there.
（あなたはそこに行くべきではなかった）

5) have to（～する必要がある）

厳密には助動詞ではありませんが、「must」や「should」と似た表現なので取り上げます。

I have to go to work.
（私は仕事に行かなければ）

ニュアンスとしては
「must」が一番強い表現で、
「should」がその次、
「have to」は最も弱い、
と理解するとよいでしょう。

また、口語では「must」はあまり使われません。

ちなみに、三単現の場合は「has to」になります。

He has to get up early tomorrow.
（彼は明日早起きする必要がある）

疑問形にするには、一般動詞と同じ方法です。

Do I have to come alone?
（私は一人で来なければいけませんか？）

6) will（～するつもりだ、～だろう）

I will come home around 7.
（私は7時ごろには家に変えるつもりだ）

「will」は未来のことや、意思について表します。

「’ll」を使って短縮することもできます。

I‘ll be there.
（行きます）

※パーティーに誘われた時の返答などに。直訳は「私はそこにいるでしょう」。

「～するつもりである」という意思を強く主張したい場合には、短縮しないで「will」を使った方がよいでしょう。
例：

I will find the truth.
（私は真実を突き止めて見せます）

否定形は「won’t」「will not」です。

It won’t be long.
（すぐ戻ります）

※直訳すると「それに長い時間は掛からないでしょう」

近い未来の事を表すときには
「be going to」
や、単純に
「～ing」（現在進行形）
を使った方がふさわしいです。

I‘m going to leave soon.
（すぐに出かけるつもりだ）

I’m leaving.
（もう出かけます）

7) Would you?（～してくれませんか？）

人に何かを頼むときに丁寧な言い方をするのに使えます。

Would you open the window?
（窓を開けてくれませんか？）

「Can you?」「Could you?」「Will you?」と置き換えても同じ意味です。
「please」を付けるとさらに丁寧になりますが、やり過ぎると逆によそよそしくなります。
他人や、かなり目上の人に使うのがいいでしょう。

Could you please open the door?
（どうか扉を開けてくれませんか？）